Primo Libro degli Elementi: dal triangolo equilatero al teorema di Pitagora

Introduzione

 

La matematica è la più antica delle discipline e la geometria è la parte più antica della matematica. Per secoli l’attività dei geometri babilonesi ed egiziani si è limitata a misure sul terreno, ma solo con i greci la geometria ha assunto l’aspetto odierno. È comparsa un’idea nuova: non bastava più servirsi di regole pratiche, che pure funzionavano, ma si doveva cercare una giustificazione di queste regole. Si è trattato di un grande passo per la cultura e da quel momento nulla poteva più essere come prima, lo studio degli oggetti matematici avrebbe richiesto di trovare le ragioni delle loro proprietà. I matematici guidati da Talete dettarono le regole: la conoscenza del mondo doveva discendere da pochi principi primi. Questa idea attraversa tre secoli ed è formalizzata definitivamente da Platone e da Aristotele: la conoscenza si deve fondare su pochi principi, che devono essere semplici ed evidenti, da essi, con il corretto ragionare, discendono nuove proprietà. La sfida è raccolta da Euclide che applica questo schema alla geometria: da una manciata di assiomi e poche definizioni deduce una catena ininterrotta di teoremi che percorre interamente il suo libro Elementi. In questa dispensa è illustrato il contenuto del Primo Libro, la parte degli Elementi nella quale emerge nel modo più completo e chiaro il processo logico descritto. Qui infatti è più evidente la dipendenza dei primi teoremi dagli assiomi e dalle definizioni, ed è qui che si coglie con maggiore chiarezza la relazione fra i teoremi: i teoremi successivi dipendono dai precedenti. Il primo libro termina con la dimostrazione del teorema di Pitagora. Un modo per leggerlo è partire dalla fine, dal teorema di Pitagora, e chiedersi quali teoremi sono necessari per dedurlo razionalmente, e poi chiedersi quali teoremi servono a dimostrare i teoremi appena utilizzati, e così via fino a risalire agli assiomi ed alle prime definizioni; forse fu proprio questo il modo di procedere di Euclide. Forse solo dopo aver completato questa catena di ragionamenti l’ha rovesciata e presentata nel suo libro.

 

Gli Elementi è stato per duemila anni l’unico manuale di geometria, il libro più studiato dalla giovani generazioni; il numero delle sue edizioni è paragonabile solo a quello della Bibbia, dopo c’è praticamente il vuoto. Dall’inizio del ‘900, dopo la rivoluzione delle geometrie non euclidee, le cose sono cambiate, si è capito che i pochi assiomi di Euclide erano insufficienti per la costruzione rigorosa delle geometria, essi dovevano essere integrati e in parte sostituiti. L’opera fu completata da Hilbert nel 1899 (Fondamenti di matematica); tanto che oggi sarebbe più giusto parlare di geometria euclideo – hilbertiana¹. Così cominciarono a fiorire innumerevoli manuali con la trasposizione didattica del libro di Hilbert. Ma i manuali si sa tendono a semplificare ed a facilitare, così tutte le costruzioni proposte finiscono col risultare lontane dal rigore hilbertiano. Ma allora perché non ritornare agli Elementi? I vantaggio sono molti, tra cui due fondamentali: in primo luogo si entra subito in argomento, cioè si dimostrano da subito teoremi di una certa importanza, ad esempio, già col primo teorema si insegna a costruire razionalmente (cioè giustificando ogni affermazione) il triangolo equilatero; in secondo luogo la concatenazione fra teoremi è di gran lunga più evidente che nei manuali. Del secondo aspetto abbiamo parlato a lungo, due parole sul primo. Lo spirito con cui è stata costruita questa dispensa non è “adesso che siete al Liceo vi insegno veramente come stanno le cose”, ma nel rispetto e nell’apprezzamento delle cose che avete imparato alla scuola Media, ciò permette di dare come note molte conoscenze e di entrare subito in argomento, si comincia subito a lavorare con figure geometriche come triangoli isosceli, rette perpendicolari e parallele, parallelogrammi ecc., senza dover studiare lunghi capitoli introduttivi. E poi c’è l’aspetto emotivo che ha la sua importanza: vi accosterete ad un’opera scritta più di duemila anni fa e potrete provare la sensazione d’avere qualcosa da condividere con gli studenti del mondo greco, medioevale, rinascimentale, romantico. Naturalmente non perderemo mai di vista il manuale che ci servirà sia per precisare alcuni concetti che Euclide dà per scontati, sia come istruttivo elemento di comparazione: vedrete ad esempio come variano le difficoltà nella dimostrazione di alcuni teoremi a seconda di quali concetti si prendono come noti.

Non è uno studio facile, Euclide impone rigore e difficoltà tecniche. Si racconta che invitato da Tolomeo I (fondatore della biblioteca di Alessandria) a presentare le sue argomentazioni in modo più semplice rispose: “Non esiste una via regia alla geometria”. Ma non dovete spaventarvi, sarete sostenuti, come è giusto che sia per un adolescente, dal vostro insegnante. Quello che vi si richiede è uno studio assiduo ed umile, che deve diventare critico, non certo nel senso di criticare l’opera di Euclide, ma nel senso di riflettere criticamente sul vostro modo di imparare e su quello che avete capito. Una allegra pedagogia, sempre più invadente negli ultimi anni, tende a nascondere le difficoltà, a facilitare, a sostituire le conoscenze con le capacità creative. Si sente spesso dire “Una mente ben fatta è meglio di una mente piena di nozioni”, chi potrebbe confutare una simile ovvietà? ma la cosa pericolosa è che affermazioni come queste tendono a trascurare un fattore fondamentale: per formare una bella mente bisogna che ci sia qualcosa su cui costruire. Non si diventa subito critici e creativi è un processo lungo, ci vogliono anni, ma prima o poi vi capiterà di capire che qualcosa nella vostra mente sta cambiando, è un processo quasi inevitabile; mano a mano che le vostre conoscenze si faranno più ampie, che ripercorrete numerose e diverse storie di idee, comincerete a costruirvi dei modelli e ad avere dei punti di riferimento che vi aiuteranno in questa crescita intellettuale.

L’occasione fornita da questo argomento è preziosa, altri ce ne saranno nei vostri studi, ma questa è una delle prime e dovreste cercare di approfittarne. Buon lavoro!